Opzioni: Portafoglio replicante & Metodo martingala

Il calcolo del valore di una opzione Plain Vanilla (Call, Put) può essere calcolata semplicemente tramite due strategie che non utilizzano formule avanzate e che approssimano, in considerazione di archi temporali lunghi, il prezzo di Black & Scholes: Portafoglio replicante, Metodo Martingala

Simbologia base

Prima di introdurre le formule, definiamo semplicemente la simbologia adottata:

  • φ_1 = titolo rischioso (es. azione)
  • φ_0 = titolo risk free (es. BTP 10 anni)
  • u = movimento up del valore dell’opzione
  • d = movimento down del valore dell’opzione
  • X_u = valore pay_off up (valore dell’opzione nella fase up)
  • X_d = valore pay_off down (valore dell’opzione nella fase down)
  • r = tasso di interesse (fattore di sconto e di capitalizzazione)
  • q = misura martingala
  • = prezzo del sottostante dell’opzione
  • K = valore dello strike

1. Metodo Portafoglio Replicante

La strategia di calcolo di una opzione tramite “Portagolio Replicante” presuppone:

  • Assenza di opportunità di arbitraggio: impossibilità di ottenere guadagni in assenza di rischio
  • Presenza di strategie autofinanzianti: strategia di gestione di portafoglio in cui l’aggiustamento delle quote degli asset è effettuato alla fine di ogni periodo senza aggiunta o ritiro di capitale (solo ricalibrazione di quanto già presente)

La strategia del portafoglio replicante si fonda sul presupposto che sia possibile replicare il valore dell’opzione acquistando una certa quantità del titolo rischioso (il sottostante dell’opzione) e di un titolo risk free (titolo di stato a 10 anni di un emittente AAA).

Le formule di seguito riportate permettono di definire le quantità necessarie per poter replicare l’effetto dell’opzione e poter definire il valore dell’opzione in T_0, ossia il momento dell’acquisto.

Fomule Base:

 

Le formule riportate derivano dalla risoluzione di un semplice sistema di 2 equazioni che non riporto e permettono di individuare per ogni snodo (punto in cui una opzione può andare up o down) la quantità di titolo rischioso e risk free che bisogna acquistare (se eccedente significa che bisogna venderlo). Trovate le 2 quantità ricercate troviamo il valore dell’opzione per quello specifico nodo applicando questa semplice formula:

2. Metodo Martingala

Il metodo martingala è un metodo probabilistico che permette, tramite il calcolo della probabilità di andare up o down, di ricavare il valore dell’opzione in zero (momento di acquisto dell’opzione).

Il calcolo della probabilità q si ha applicando la seguente semplice formula:

 

Nota: la misura martingala, q, è sempre uguale in presenza di alberi “moltiplicativi” mentre deve essere calcolata per ogni nodo in presenza di alberi “additivi” o per opzioni “esotiche”

Una volta calcolata la misura martingala si procede a calcolare il valore dell’opzione in ogni nodo degli alberi applicando la seguente formula:

 

Una volta riportate le principali formule per poter applicare le due metodologie riportate è possibile applicarle molto semplicemente definendo, anche apriori, le variabili sopra riportate. Di seguito due video che mostrano due semplici applicazioni:

  • Portafoglio replicante:

https://www.youtube.com/watch?v=O98qdtmt9Bk&index=15&list=PLaj5YbEtlwKAEmNKd5UDpGI55S-rsSoqR

  • Metodo martingala:

https://www.youtube.com/watch?v=U-lALkz12-Q&list=PLaj5YbEtlwKAEmNKd5UDpGI55S-rsSoqR&index=18

About the author

Specializzato in "Finanza, Intermediari e Mercati", attualmente lavoro presso Deloitte Consulting s.r.l. come Analyst nella function "Strategy & Operation". Sono stato coinvolto in progetti di Business Transformation, PMO, Credit Controls presso i principali player bancari del nostro paese. Contatti: aguida@deloitte.it

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